结合情境理解数学公式。

先检查适用条件

• 三角形必须有一个直角。构成直角的两条边是直角边 a 和 b。
• c 是直角所对的斜边，比任一直角边都长。边长取正数，且单位必须一致。
• 判断一个三角形是否为直角三角形时，把最长边放在 c 的位置。由勾股定理的逆定理，等式成立就能确定它有直角。

为什么成立

1. 把四个全等的直角三角形放入边长为 a + b 的正方形，使它们的斜边围成边长为 c 的中央正方形。每个三角形的两个锐角之和为 90°，所以中央图形的各个角都是直角。

2. 用四个三角形和中央正方形的面积表示同一个总面积。

   $$(a+b)^2=4\left(\frac{ab}{2}\right)+c^2$$

3. 展开等式两边，消去相同的 2ab。

   $$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$$

逐步例题

一个直角三角形的两条直角边分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边长。

1. 把未知斜边记为 c。已知的两条边都是直角边，因此将它们的平方相加。

   $$c^2=3^2+4^2$$

2. 先分别平方，再相加。

   $$c^2=9+16=25$$

3. 因为 c 表示长度，所以取正平方根。斜边长为 5 厘米。

   $$c=\sqrt{25}=5$$

检验结果

把结果代回原关系式，并检查 5 大于 3 和 4，且小于两者之和 7。

避开常见误区

• 不能写成 a + b = c：定理描述的是边长的平方关系，而不是边长直接相加。
• 如果要求的是直角边，应先用 c² 减去另一条直角边的平方，再开平方。
• 图形看起来像直角三角形并不足够。需要题目给定直角、互相垂直的方向，或通过逆定理判断。

先检查适用条件

• 先整理成 ax² + bx + c = 0，其中系数都是实数，且 a ≠ 0。a = 0 时不是一元二次方程。
• 设 D = b² − 4ac。D > 0 时有两个不同的实根；D = 0 时有一个二重实根。
• D < 0 时没有实根。引入复数后仍可使用求根公式，但这里的示例在实数范围内讨论。

为什么成立

1. 从 ax² + bx + c = 0 出发，两边乘以 4a，再把常数项移到右边。

   $$4a^2x^2+4abx=-4ac$$

2. 两边同时加上 b²，配成完全平方。

   $$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$

3. 当 D ≥ 0 时，取正负两个平方根，减去 b，再除以 2a，即得到上面的公式；a 为负数时也成立。

   $$2ax+b=\pm\sqrt{D}$$

逐步例题

求解 x² − 5x + 6 = 0，并检验两个答案。

1. 从标准形式中确定系数，注意保留符号。

   $$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$$

2. 计算判别式。结果为正，因此应有两个不同的实根。

   $$D=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1$$

3. 代入公式，注意整个分子都要除以 2a。

   $$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$$

4. 分别计算加号和减号对应的两个值。

   $$x_1=3,\qquad x_2=2$$

检验结果

两个值都使原式为零。它们的和为 5 = −b/a，积为 6 = c/a，也可用来辅助检验。

避开常见误区

• b 必须连同符号一起读取：b = −5 时，分子中的 −b = 5。另外，(−5)² = 25。
• 不要漏掉减号分支，也不要只把根号项除以 2a。
• 判别式为负表示没有实数解，并不表示根是负数。判别式为零时，两个分支给出同一个根。

先检查适用条件

• 当 n 是正整数时，法则对任意实数 x 成立。常数函数的导数是 0；对 f(x) = 1 应直接求导，不要在 x = 0 处代入 0 · x⁻¹。
• 负整数次幂需要排除 x = 0。对于任意实数指数 n，法则在 x > 0 时成立。
• 某些有理数次幂也允许负数输入，要检查具体函数的实数定义域。x = 0 处需要单独讨论：√x 在该点有定义，但没有有限导数。

为什么成立

1. 以 f(x) = x³ 为例，先写出差商，其中 h ≠ 0。

   $$\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$$

2. 令 h 趋近于零，含 h 的项趋于零，剩下 3x²。通过二项式展开，对所有正整数次幂都能得到同样的规律。

   $$f'(x)=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$$

3. 对于任意实数 n 和 x > 0，可把 xⁿ 写成以 e 为底、n ln x 为指数的形式。学过链式法则以及指数函数、对数函数的导数后，就能得到相同结果。

   $$\frac{d}{dx}e^{n\ln x}=e^{n\ln x}\frac{n}{x}=nx^{n-1}$$

逐步例题

对于 f(x) = x³，求 x = 2 处的斜率和切线方程。

1. 把指数作为系数，再将指数减一。

   $$f'(x)=3x^{3-1}=3x^2$$

2. 把 x = 2 代入导函数，求得斜率。

   $$f'(2)=3(2^2)=12$$

3. 把 x = 2 代入原函数，确定切点。

   $$f(2)=8\quad\Longrightarrow\quad (2,8)$$

4. 使用直线的点斜式。这条直线在切点处与原函数有相同的函数值和斜率。

   $$y-8=12(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=12x-16$$

检验结果

切线方程在 x = 2 时给出 y = 8。取 h = 0.01 时，附近割线的斜率为 12.0601；当 h 趋近于零时，它趋近于 12。数值检验能辅助检查，但不能代替证明。

避开常见误区

• 减一的是指数，不是整个式子：x³ 的导数是 3x²，而不是 3x³ − 1。
• 复合函数还需要链式法则。对 (2x + 1)³ 求导时，要把 3(2x + 1)² 再乘以内层函数的导数 2。
• 这里的指数必须是常数，不能直接用此法则对 aˣ 或 xˣ 求导。也要区分函数值 f(2) 和斜率 f′(2)。