OnlyMath / 原创学习单元

代数基础：从方程到函数

找出真正卡住的步骤，针对性补齐，再把方程、图像和实际问题联系起来。

代数入门基础 · 附原创自测与可展开的答案

目标与先修基础

适合复习初等代数，或中断学习后重新开始的学习者。

本单元涵盖正负数、分数、一次方程与不等式、斜率和函数记号。这是后续学习的基础，不是一门完整的 Algebra 1 课程。

先修基础

会做整数乘除，能区分分子与分母。
能辨认有序数对 (x, y)；第 3 章会复习坐标与直线的联系。

完成后的目标

能解释每一步为什么保持等式成立，而不只说“移项”。
能解一次方程或不等式，并代回原式检验。
能由两点建立线性模型，解释单位，并根据函数输入求输出。

先在纸上完成 5 道诊断题，再展开答案。答错后进入对应章节。每次学习一章：讲清例题，独立完成两道练习，隔一段时间再做 3 道综合自测。本单元不需要计算器。

先做诊断题

这些题用于选择起点，不用于评级。只有不看答案也能解释理由，才算真正掌握。

练习 1

D1 · 正负分数：计算并化为最简分数。

-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}

答案、思路与错因

答案：1/12

通分到分母为 12：−9/12 + 10/12 = 1/12。正数项稍大，因此结果应是一个较小的正数。

常见错误：写成 2/10 = 1/5，是把分子分母分别相加。分母表示每份的大小，必须先统一每份大小，再相加。

需要补习？回到对应章节

练习 2

D2 · 方程：求解后将结果代回检验。

3(x-2)=2x+5

答案、思路与错因

答案：x = 11

去括号得 3x − 6 = 2x + 5。两边同时减去 2x，再加 6。当 x = 11 时，原式两边都等于 27。

常见错误：x = 7 常源于把 3(x − 2) 写成 3x − 2。括号内两项都要乘以 3。

需要补习？回到对应章节

练习 3

D3 · 不等式：写出所有解的范围。

-2x+1>7

答案、思路与错因

答案：x < −3

两边减 1 得 −2x > 6。除以 −2 时不等号反向。例如 x = −4 满足原式，因为 9 > 7。

常见错误：x > −3 忘记了乘除负数会使不等号反向。检验 x = 0：它符合这个错误范围，但原式 1 > 7 不成立。

需要补习？回到对应章节

练习 4

D4 · 变化率：求经过 (1, 4) 与 (3, 10) 的直线斜率。

答案、思路与错因

答案：m = 3

输出增加 6，输入增加 2，因此斜率为 6/2 = 3。

常见错误：1/3 把纵向变化与横向变化颠倒了。斜率 3 表示输入每增加 1 个单位，输出增加 3 个单位。

需要补习？回到对应章节

练习 5

D5 · 函数记号：求 f(−2)。

f(x)=x^2-3x

答案、思路与错因

答案：f(−2) = 10

把每个 x 都替换为 (−2)：(−2)² − 3(−2) = 4 + 6 = 10。

常见错误：结果为 2，通常是把 (−2)² 算成 −4。括号表示整个负数是底数：(−2)(−2) = 4。

需要补习？回到对应章节

按结果选择起点

分数或符号不稳

D1 答错，或依靠猜测。

从第 1 章开始，先通过分数与分配律练习，再解方程。

前往复习章节

等式变形或不等号方向出错

D2 或 D3 答错，但 D1 已掌握。

从第 2 章开始，在每一步旁写出两边同时进行了什么运算。

前往复习章节

会算式，却读不懂图像

D4 答错，或无法解释斜率的单位。

用第 3 章把两点、变化率与方程联系起来。

前往复习章节

函数输入容易混淆

D5 答错，或把 f(x) 理解为乘法。

从第 4 章开始，再用综合自测检查前面的技能。

前往复习章节

第 1 章

1. 保持数量与符号的含义

目标：能统一分数单位，并把乘法正确分配到每一项。

代数式表示一个量，本身并不要求“求解”。化简是把它改写成对所有允许输入都同值的式子。方程则断言两个量相等，可能只有某些输入使它成立。

相加分数时，要先使每份大小相同。分母为 3 和 4 时，可以通分到分母为 12：分子分母同乘一个非零数。乘以 4/4 或 3/3 只是改变写法，不改变数值。

括号前的减号相当于乘以 −1。因此，分配律 a(b + c) = ab + ac 也适用于减法。只能合并同类项：2x 与 5x 的字母部分相同，而 2x 与 5 不是同类项。

分步例题

括号外有分数

化简下式，再求 x = −3 时的值。

\frac{2}{3}(x-6)-\frac{x}{4}

把 2/3 乘到括号内两项。因为 (2/3) × 6 = 4，常数项为 −4。
$=\frac{2x}{3}-4-\frac{x}{4}$
把含 x 的两项通分，常数项单独保留。
$=\frac{8x}{12}-\frac{3x}{12}-4=\frac{5x}{12}-4$
代入 x = −3，计算剩余数值。
$\frac{5(-3)}{12}-4=-\frac54-4=-\frac{21}{4}$

化简结果为 5x/12 − 4，在 x = −3 时等于 −21/4。代入原式同样得到 (2/3)(−9) + 3/4 = −6 + 3/4 = −21/4。

避开误区：约分只能约去整个分子与分母的公因子，不能直接消去和式中的某一项。例如 (x + 4)/4 = x/4 + 1，而不是 x + 1。

独立练习

练习 1

不用小数近似值，计算下式。

-\frac56+\frac14

答案、思路与错因

答案：−7/12

−5/6 = −10/12，1/4 = 3/12，因此和为 −7/12。

常见错误：−4/10 是分别相加分子分母得到的错误结果；必须先通分。

需要补习？回到对应章节

练习 2

化简，并在 x = 2 时检验结果。

-3(2x-5)+x

答案、思路与错因

答案：−5x + 15；x = 2 时值为 5。

去括号得 −6x + 15 + x，合并得 −5x + 15。原式代入 x = 2 得 −3(−1) + 2 = 5。

常见错误：−5x − 15 忘记了 (−3)(−5) 为正。应分别判断每个乘积的符号。

需要补习？回到对应章节

继续前的检查：当你能不看例题解释通分，并正确分配负数因子时，再继续。代入数值可以发现错误，但只检验一个输入不能证明两个代数式恒等。

第 2 章

2. 保持等式成立，正确处理不等号

目标：用可逆运算解题，并区分唯一解、无解与无穷多解。

可以把等式想成天平。两边加上同一个量，或乘以同一个非零常数，会保持解集不变。“移项变号”只是两边同做一种运算的简写，不是独立的规则。

去分母时不能漏项。方程两边乘以 6，指的是两边的整个式子都乘以 6。如果一个含字母的式子可能为零，就不能直接除以它而不另行讨论。

不等式通常描述一个范围，而不是单个数。两边加同一个数，不等号方向不变。乘以负数相当于将数轴反向，因此次序颠倒：2 < 5，但 −2 > −5。乘以正数则不改变方向。

分步例题

两边都有分数的方程

求解，并在原方程中验证。

\frac{x-2}{3}+1=\frac{x+4}{2}

方程两边同乘 3 与 2 的最小公倍数 6。
$2(x-2)+6=3(x+4)$
去括号，并合并左边的常数项。
$2x-4+6=3x+12\quad\Rightarrow\quad2x+2=3x+12$
两边同时减去 2x，再同时减去 12。
$2=x+12\quad\Rightarrow\quad x=-10$
代回原式两边检查，保留原来的分母。
$\frac{-10-2}{3}+1=-3,\qquad\frac{-10+4}{2}=-3$

唯一解为 x = −10。每一步都是可逆运算，代入检验也确认它满足原方程。

避开误区：字母项消去后，应判断剩余等式。2(x + 1) = 2x + 2 化为 2 = 2，所以任意实数 x 都是解。2(x + 1) = 2x + 5 化为 2 = 5，所以无解。这两种情况都不是 x = 0。

独立练习

练习 1

求解并检验。

4(x-1)=2x+10

答案、思路与错因

答案：x = 7

4x − 4 = 2x + 10，因此 2x = 14。代入 x = 7，原式两边都是 24。

常见错误：x = 3 通常源于错误处理 −4。应两边同时加 4，先得到 4x = 2x + 14。

需要补习？回到对应章节

练习 2

求解，并描述在数轴上的表示方式。

5-3x\leq14

答案、思路与错因

答案：x ≥ −3；在 −3 处画实心点，并向右涂色。

减去 5 得 −3x ≤ 9。除以 −3 并反向，得 x ≥ −3。端点满足原式，因为 5 − 3(−3) = 14。

包含 −3 与所有更大的数

对于 5 − 3x ≤ 14，把 −3x ≤ 9 两边除以 −3 时不等号反向，得到 x ≥ −3。实心端点表示包含等号，向右的箭头表示解集无限延伸。

常见错误：x ≤ −3 忘记反向；空心点则错误地排除了等号成立的情况。方向与端点是否包含都要检查。

需要补习？回到对应章节

继续前的检查：能逐行说明用了什么运算。对于不等式，检查边界，再各取边界两侧一点验证。如果方向或等号情况仍不确定，先复习本章。

第 3 章

3. 把直线、变化率与初始值联系起来

目标：能由两点建立 y = mx + b，并结合单位解释 m 与 b。

直线模型的变化率恒定。斜率是输出变化量除以输入变化量：m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)，前提是输入差不为零。分子分母的坐标相减顺序必须一致。

在 y = mx + b 中，b 是 x = 0 时的输出，不一定是数据列表中的第一个 y 值。竖直直线没有有限斜率，不能写成 y = mx + b，因为同一个 x 会对应多个 y。

代数中的直线可以无限延伸，实际模型却常有适用范围。应说明输入区间，以及输入是连续量还是整数计数。仅凭两个测量点，不能证明关系在其他情境中仍然线性。

分步例题

恒速排水的水箱

水箱在 2 分钟时有 26 升水，在 5 分钟时有 14 升水。假设从 t = 0 起一直恒速排水，直到排空。求模型及其适用时间范围。

使用点 (2, 26) 与 (5, 14)，斜率单位为升/分钟。
$m=\frac{14-26}{5-2}=-4$
任选一点代入 V(t) = −4t + b，求初始水量。
$26=-4(2)+b\quad\Rightarrow\quad b=34$
求水量达到零的时刻，并把模型限制在排水过程中。
$V(t)=34-4t,\qquad0\leq t\leq8.5$

初始水量为 34 升，每分钟减少 4 升。画出 (0, 34) 与 (8.5, 0)，用线段连接。8.5 分钟后公式给出负水量，因此此后不再适用于实际水箱。

下降的直线，恒定的排水速率

V(t) = 34 − 4t，时间单位为分钟，水量单位为升。虚线斜率三角形表示时间增加 3 分钟、水量减少 12 升：−12 ÷ 3 = −4 升/分钟。线段在水箱排空时结束，即 t = 8.5。

避开误区：负斜率不表示输出全是负数，而是输入增大时输出减小。水箱模型中斜率为负，但排空之前水量仍为正。

独立练习

练习 1

求经过 (2, 7) 与 (6, 15) 的直线，写出斜率和纵截距。

答案、思路与错因

答案：y = 2x + 3；斜率为 2，纵截距为 3。

m = (15 − 7)/(6 − 2) = 2。代入 7 = 2(2) + b 得 b = 3。两个已知点都满足结果。

常见错误：y = 2x + 7 把已知点的输出误当作纵截距，但这个输出对应的输入为 2，而不是 0。

需要补习？回到对应章节

练习 2

自行车租赁收取 9 美元基础费，另加每小时 4 美元，不足一小时按比例计费。写出 C(h)，解释两个常数，并求租 2.5 小时的费用。

答案、思路与错因

答案：C(h) = 9 + 4h，h ≥ 0；C(2.5) = 19 美元。

斜率为每小时 4 美元，纵截距为 9 美元起步费用。代入 h = 2.5 得 9 + 4 × 2.5 = 19。

常见错误：C(h) = 13h 把基础费每小时都收取一次。固定费用只加一次，不能算入每小时的斜率。

需要补习？回到对应章节

继续前的检查：给定两点后，能求斜率、截距，画直线，并解释一个实际限制。如果计算正确但单位含义不清楚，用自己的话重新讲解建模题。

第 4 章

4. 把函数看成具有输入范围的规则

目标：能求函数值、做简单复合、确定输入限制，并区分输入与输出。

函数为每个允许的输入指定唯一输出。f(3) 表示 f 在输入 3 时的输出，不是 f 乘以 3。不同输入可以有相同输出，例如 f(x) = x² 中 f(−2) = f(2) = 4，仍然是函数。

求函数值时，应替换所有输入变量；代入负数或代数式时保留括号。对于复合函数 f(g(x))，先求 g 的输出，再把整个输出作为 f 的输入。

定义域记录允许的输入。在实数范围内，分母不能为零，偶次根号内不能为负。实际情境还可能施加更严格的限制，例如租赁时长不能为负。

分步例题

复合函数与定义域限制

设 f(x) = 2x − 1，g(x) = x² + 3。求 f(g(−2))，并写出 r(x) = 1/(x − 5) 的实数定义域。

先把原输入代入内层函数。
$g(-2)=(-2)^2+3=7$
把 7 而不是 −2 代入外层函数。
$f(g(-2))=f(7)=2(7)-1=13$
对于 r，找出使分母为零的输入并排除。
$x-5\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne5$

复合函数值为 13。r 的定义域为除 5 以外的所有实数。定义域描述可能的输入，输出的集合则称为值域。

避开误区：顺序很重要：本例中 g(f(−2)) = g(−5) = 28，而不是 13。复合不等于乘法，一般也不满足交换律。

独立练习

练习 1

设 p(x) = x² − 2x，求 p(−3)，并化简 p(a + 1)。

答案、思路与错因

答案：p(−3) = 15；p(a + 1) = a² − 1。

p(−3) = 9 + 6 = 15。代入代数式时，(a + 1)² − 2(a + 1) = a² + 2a + 1 − 2a − 2 = a² − 1。

常见错误：p(a) + 1 不是 p(a + 1)。应先改变输入，再执行函数规则，而不是给算完的输出加 1。

需要补习？回到对应章节

练习 2

写出 q 的实数定义域。x = 2 是否允许？

q(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-5}

答案、思路与错因

答案：x ≥ 2 且 x ≠ 5。允许 x = 2，因为 q(2) = 0。

平方根要求 x − 2 ≥ 0，分母要求 x − 5 ≠ 0，两个条件必须同时满足。

常见错误：x > 2 错误排除了根号内为零的情况；只写 x ≥ 2 又会错误包含 x = 5 时除以零的情况。

需要补习？回到对应章节

继续前的检查：能解释 f(a + 1) 与 f(a) + 1 的区别，并在化简分式前列出所有限制。两点都能讲清后，再做综合自测。

综合验收

合上例题，在纸上作答。不只写答案，还要写解释。这些题混合了不同技能，需要自己选择方法。

练习 1

解方程，并解释每一步变形为何成立。

\frac{2x-1}{3}=x+2

答案、思路与错因

答案：x = −7

两边同乘 3：2x − 1 = 3x + 6。两边减去 2x，再减去 6，得 x = −7。原式两边都等于 −5。

常见错误：2x − 1 = x + 6 只把右边部分项乘以 3。右边每一项都要乘以 3。

需要补习？回到对应章节

练习 2

线性费用 C(h) 经过 (1, 11) 与 (4, 23)，且 h ≥ 0。求 C(h)，再求费用不超过 31 美元时所有可能的 h。允许非整数小时。

答案、思路与错因

答案：C(h) = 4h + 7；0 ≤ h ≤ 6。

斜率为 (23 − 11)/(4 − 1) = 4，由 11 = 4 + b 得 b = 7。解 4h + 7 ≤ 31 得 h ≤ 6，再结合 h ≥ 0。

常见错误：h = 6 只给出了边界。“不超过”还包括所有允许的较小时长，且要保留实际情境中的下界。

需要补习？回到对应章节

练习 3

设 r(x) = (x² − 9)/(x − 3)。利用恒等式 x² − 9 = (x − 3)(x + 3)，写出原定义域，在允许范围内化简，并求 r(4)。r(3) 有定义吗？

答案、思路与错因

答案：x ≠ 3；在该定义域内 r(x) = x + 3；r(4) = 7；r(3) 无定义。

利用 x² − 9 = (x − 3)(x + 3)。只有 x − 3 非零时才能约去公因子。化简公式不会自动恢复原来排除的输入。

常见错误：r(3) = 6 把化简式用到了原定义域之外。原规则在 x = 3 时分母为零。

需要补习？回到对应章节

这是学习检查点，不是分班测试：目标是在无提示下解对 3 题，并能解释检验方法。若有失误，进入对应复习章节，修正思路，稍后再做一道数字不同的新题。只靠记忆题型得到正确答案，还不足以继续。

选择下一步

基础稳固后

继续学习方程组、指数运算法则、多项式运算与二次函数。进入完整的预备微积分课程前，持续练习文字、方程和图像之间的转换。

比较代数资源

如果下一目标是微积分

还需补充三角函数、指数函数、对数函数与函数复合，再用微积分单元的准备度题目选择起点。

进入微积分学习单元

编辑说明与纠错

本单元的讲解与练习为 OnlyMath 原创学习内容。链接教材章节仅供延伸阅读，不代表对方认可或背书。英语与简体中文包含相同的题目和学习目标。外部链接于 2026 年 10 月 8 日核查，原站内容此后可能变化。

发现错误？请提供本页与题号