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微积分第一单元：极限、变化与累积
从相邻函数值理解瞬时变化率，再从变化率理解总变化量。
目标与先修基础
适合已能进行代数运算的微积分初学者，也适合希望重新理解公式含义的复习者。
四章内容通过多项式例子介绍极限、导数、链式法则与定积分。本单元不覆盖完整的大学微积分或 AP 课纲；三角、指数、对数函数求导，优化问题、积分技巧与级数仍需进一步学习。
先修基础
- 能展开平方、分解平方差，并在公因子非零时约分。
- 能求函数值，把斜率理解为输出变化量与输入变化量之比，并说明定义域。
- 若要继续学习完整微积分课程，还需复习三角函数、指数函数与对数函数。
完成后的目标
- 能区分函数在某点的值与输入趋近该点时的极限。
- 能从差商求出简单函数的导数，并解释符号与单位。
- 能对复合多项式求导、写出切线方程，并区分净变化量与总路程。
先完成 D1 与 D2。D3–D5 涉及后面才会学习的内容，初学时不会很正常。如果第一次学微积分，按章学习；如果是复习，可按薄弱环节跳转。做题时记录单位、定义域限制，以及每一步极限或求导操作的理由。先作答，再展开答案。
先做诊断题
D1 检查必要的代数基础，D2 引出第一个微积分概念，其余题目帮助复习者选择重点。开始学习前，不要求你已经会做所有题。
练习 1
D1 · 代数准备：在 h ≠ 0 时化简。
答案、思路与错因：练习 1
答案：2x + h
展开 (x + h)² = x² + 2xh + h²。减去 x² 后提取公因子 h，再利用 h ≠ 0 约分。
常见错误：只得到 h，是因为漏掉了交叉项 2xh。如果这里有困难，先复习展开运算，再进入第 2 章。
需要补习？回到对应章节练习 2
D2 · 极限与函数值：求极限。原分式在 x = 1 时有定义吗？
答案、思路与错因：练习 2
答案：极限为 2；原分式在 x = 1 时无定义。
当 x ≠ 1 时，因式分解并约分可得 x + 1。两侧的邻近输出都趋近 2，尽管原规则在 1 处无值。
常见错误：“0/0，所以极限为零”不成立。0/0 不是一个数，它只是说明直接代入不能确定极限。
需要补习？回到对应章节练习 3
D3 · 导数含义：水箱体积 V 以升计，时间以分钟计。V(2) = 7 与 V′(2) = −3 分别表示什么？
答案、思路与错因：练习 3
答案：在第 2 分钟，水量为 7 升，并且当时正以每分钟 3 升的瞬时速率减少。
函数值衡量水量，导数衡量该水量在局部的变化率，因此单位是升/分钟。
常见错误：“水箱有 −3 升水”混淆了变化率与水量。导数为负，并不要求函数值为负。
需要补习？回到对应章节练习 4
D4 · 复合函数：对 x 求导。
答案、思路与错因：练习 4
答案：y′ = 6(2x + 1)²
外层三次方给出 3(2x + 1)²，内层函数求导再给出因子 2。
常见错误：3(2x + 1)² 只对外层求导。外层的输入变化速度是 x 的两倍，因此还要乘以 2。
需要补习？回到对应章节练习 5
D5 · 累积：某水量连续 3 分钟以 −2 升/分钟的恒定速率变化。净变化量是多少？
答案、思路与错因：练习 5
答案：−6 升，即减少了 6 升。
变化率乘时间等于变化量：(−2 升/分钟) × (3 分钟) = −6 升。
常见错误：写成 −6 升/分钟，是乘以时间后仍保留了速率单位；分钟应约去。并且，这只是变化量，没有初始水量就无法得知最终水量。
需要补习？回到对应章节按结果选择起点
第 1 章
1. 关注附近的趋势，而不只看该点
目标：能结合代数与左右两侧趋势，判断有限的双侧极限。
“x 趋近 a 时，f(x) 趋近 L”描述的是 x 与 a 不相等、但可以任意接近时的输出，并不要求 f(a) 存在。更精确地说，无论要求输出与 L 的误差有多小，只要所有允许的输入足够接近 a，就能满足该误差要求。
双侧极限存在，要求左极限与右极限都存在且相等。数表只能提示趋势，不能证明结论；图像也可能掩盖跳跃或空点。应使用表达式、定义或有效的极限法则说明理由。
多项式是连续的，因此可通过代入求极限。连续函数的商，在分母不为零时也可以直接代入。如果代入产生 0/0，应化简或寻找其他论证，不能把 0/0 当作答案。
分步例题
图像中的可去空点
求极限，并解释图像在 x = 3 处的情况。
直接代入得到 0/0，尚不能确定极限。将平方差分解。
在 3 附近但不等于 3 的位置，约去非零公因子。该等式仅在 x ≠ 3 时成立。
邻近函数值与连续直线一致，因此对直线代入求极限。
极限为 6。原图像是直线 y = x + 3，但在 (3, 6) 处为空心点。如果另行定义 f(3) = 6，就能补上空点形成连续延拓；原来的分式本身仍在 3 处无定义。
从两侧趋近空点
避开误区：空点与跳跃不同。对于 |x|/x，负输入给出 −1，正输入给出 1。虽然两侧极限各自存在，但在 0 处的双侧极限不存在。
独立练习
练习 1
求极限，并说明原式在 x = 5 时是否有定义。
答案、思路与错因：练习 1
答案：极限为 10；原式在 5 处无定义。
分解 x² − 25 = (x − 5)(x + 5)。当 x ≠ 5 时，分式等于 x + 5，其极限为 10。
常见错误：“分母为零，所以极限不存在”混淆了该点函数值与邻近趋势。
需要补习？回到对应章节练习 2
设 x < 1 时 f(x) = 2x，x ≥ 1 时 f(x) = x + 2。求 x = 1 处的左极限、右极限、f(1) 与双侧极限。
答案、思路与错因：练习 2
答案：左极限为 2，右极限为 3，f(1) = 3，双侧极限不存在。
分别使用对应一侧的公式。f(1) 由第二段公式确定，但该点的取值不能使两个不同的单侧极限变成相同。
常见错误：回答 3 只考虑了右侧分段。双侧极限必须同时考虑从两个方向趋近的输入。
需要补习？回到对应章节继续前的检查：继续前，应能解释：为什么分式在无定义处仍可能有极限，以及为什么不同的单侧极限不能合成一个双侧极限。
第 2 章
2. 从平均变化率走向瞬时变化率
目标：能从极限定义建立导数，并区分变化率单位与总量单位。
f 从 a 到 a + h 的平均变化率为 [f(a + h) − f(a)]/h，其中 h ≠ 0。这是通过两个点的割线斜率，单位是输出单位除以输入单位。
若 h 趋近 0 时该差商存在有限极限，这个极限就是导数 f′(a)，也就是切线斜率与瞬时变化率。不能直接把 h = 0 代入原差商，而应分析附近的趋势。
导数还可以给出局部估计：当 h 很小时，f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h。把 a 处的变化率乘以输入变化量，再将估计的输出变化量加到初始值上。这称为切线近似；缺少更多信息时，不能保证某个具体步长对应的误差界。
函数可以连续，却在尖点处不可导。例如 |x| 在 0 处左侧斜率为 −1，右侧斜率为 1，因此不存在唯一导数。可导比连续要求更强。
分步例题
位置不等于速度
物体位置为 s(t) = t² − 4t + 7 米，时间单位为秒，且 t ≥ 0。用定义求 t = 3 时的速度，再与 t = 1 到 t = 3 的平均速度比较。
t = 3 时位置为 4 米，围绕此点建立差商。
展开、合并，仅在 h ≠ 0 时约去 h。
取极限得到瞬时速度，单位为米/秒。
固定区间上的平均速度，要使用两端位置。这里 s(1) = s(3) = 4。
第 3 秒的瞬时速度为 +2 米/秒，而第 1 秒到第 3 秒的平均速度为 0 米/秒。物体可以在一个区间内返回同一位置，同时在区间末端仍在运动。
避开误区：f′(a) = 0 本身不能证明极大值或极小值。例如 f(x) = x³ 在 0 处导数为零，但函数仍穿过该点继续递增。水平切线不一定意味着转折。
独立练习
练习 1
设 f(x) = x² + 1，用定义求 f′(2)。
答案、思路与错因：练习 1
答案：f′(2) = 4
差商为 [(2 + h)² + 1 − 5]/h = (4h + h²)/h。当 h ≠ 0 时等于 4 + h，因此极限为 4。
常见错误：5 是 f(2)，也就是点的高度，而不是切线斜率 f′(2)。
需要补习？回到对应章节练习 2
可导温度函数 T 满足 T(10) = 18 °C，T′(10) = −0.4 °C/分钟。用切线近似估计 T(10.5)，并说明为何只是估计值。
答案、思路与错因：练习 2
答案：约为 17.8 °C。
小时间变化 Δt = 0.5 对应近似温度变化 T′(10)Δt = −0.2 °C。加到 18 上得 17.8。导数描述局部变化率，实际降温速率在半分钟内可能变化。
常见错误：17.6 °C 错把半分钟当成一分钟。若声称精确等于 17.8 °C，则额外假定了题目并未给出的恒定变化率。
需要补习？回到对应章节继续前的检查：能从极限、斜率及带单位的变化率三个角度解释导数，并说明平均速度为零时，瞬时速度为何仍可能不为零。
第 3 章
3. 跟踪每一层输入的变化
目标：能对多项式复合函数求导，并用结果建立切线方程。
对于正整数 n，xⁿ 的导数为 nxⁿ⁻¹。常数的导数为 0；和可以逐项求导；常数倍保留在前。这些法则来自极限定义，使我们不必每次都重新展开差商。
对于复合函数 y = F(g(x))，变化经过两个阶段。如果 g 在 x 处可导，F 在 g(x) 处可导，则链式法则给出 y′ = F′(g(x))g′(x)。先在内层输出处计算外层导数，再乘以内层导数。
x = a 处的切线需要一个点与一个斜率。点为 (a, f(a))，斜率为 f′(a)，因此方程是 y − f(a) = f′(a)(x − a)。它在 a 处经过函数图像，并刻画局部变化，但在别处通常不等于原函数。
分步例题
对四次方求导，再求切线
求 f(x) = (3x − 2)⁴ 的导数，以及 x = 1 处的切线。
设内层表达式 u = 3x − 2。外层对 u 求导，内层对 x 求导。
把两个变化率相乘，再把 u 换回完整表达式。
求 x = 1 时的点与斜率。
使用点斜式，注意切线的 y 不等于原函数公式。
导数为 12(3x − 2)³，切线为 y = 12x − 11。该直线经过 (1, 1)，且斜率为 12；只检查其中一个条件还不够。
避开误区：和、积、商与复合具有不同结构。例如 x·x 的导数为 2x，而不是 1·1。不能把逐项求导的加法规则套用到乘法上；后续还需学习乘积与商的求导法则。
独立练习
练习 1
求导，并指出内层导数。
答案、思路与错因：练习 1
答案：y′ = 6x(x² + 1)²；内层导数为 2x。
外层导数为 3u²，内层 u = x² + 1 的导数为 2x。相乘得 3(x² + 1)² × 2x。
常见错误：3(x² + 1)² 漏掉了变化的内层速率；6x³ 则把表达式拆开求导，忽略了复合结构。
需要补习？回到对应章节练习 2
求 f(x) = x³ − 2x 在 x = 2 处的切线。
答案、思路与错因：练习 2
答案：y − 4 = 10(x − 2)，即 y = 10x − 16
f(2) = 8 − 4 = 4；f′(x) = 3x² − 2，因此 f′(2) = 10。过 (2, 4) 且斜率为 10 的直线即所求。
常见错误：y = 10x + 4 把 f(2) 当成了纵截距。已知点的横坐标是 2，而不是 0。
需要补习？回到对应章节继续前的检查：每次用链式法则前都标出内外层函数。求出切线后，同时检验它是否经过指定点，以及斜率是否等于该点导数。
第 4 章
4. 累积带符号的变化，并还原总量
目标：能用定积分求净变化量，并在求总路程时按符号变化分段。
对于连续变化率 r(t)，把时间区间分成许多小段。高为 r(t)、宽为 Δt 的矩形估计一小段中的变化量。当最大小段宽度趋近零时，这些量之和的极限就是定积分。负变化率贡献负变化量。
微积分基本定理把累积与导数联系起来。如果 r 在 [a, b] 上连续，且 F′ = r，那么 r 从 a 到 b 的积分等于 F(b) − F(a)。若 A(x) 为连续函数 r(t) 从 a 到 x 的积分，则在区间内部有 A′(x) = r(x)。
定积分是具有累积量单位的数，不是一族函数。不定积分表示原函数族，需要包含任意常数。由变化率求最终量时，应把净变化量加到初始量上。
分步例题
同一运动，对应两种不同的总量
物体在 0 ≤ t ≤ 3 时的速度为 v(t) = 2t − 4 米/秒，初始位置 s(0) = 10 米。求位移、最终位置与总路程。
2t − 4 的一个原函数是 t² − 4t。用上端点值减去下端点值，得到位移。
把位移加到初始位置上。负位移表示终点相对起点向负方向移动了 3 米。
路程把两个方向的运动都计为正。速度在 t = 2 处变号：此前为负，此后为正。
两段路程分别为 4 米与 1 米。将它们相加，而不是相互抵消。
位移为 −3 米，最终位置为 7 米，总路程为 5 米。位移大小只有 3 米，因为前后方向的运动部分抵消。
同一运动，两种面积算法
带符号面积 → 位移
−4 米 + 1 米 = −3 米
绝对值面积 → 路程
4 米 + 1 米 = 5 米
避开误区：函数的定积分是带符号的面积，并不总是几何面积。同样，速度变号时，|∫v(t)dt| 一般不等于 ∫|v(t)|dt。只在最后取绝对值，无法还原已经抵消的运动。
独立练习
练习 1
计算定积分，并用梯形面积检验。
答案、思路与错因：练习 1
答案：10
取 F(x) = x² + x，得 F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10。图像两端高度为 3 与 7，宽为 2，梯形面积为 (3 + 7) × 2/2 = 10。
常见错误：12 只计算了上端点。10 + C 则把定积分当成不定积分；两端相减后任意常数会消去。
需要补习？回到对应章节练习 2
对下列累积函数，求 A′(x) 与 A(2)。
答案、思路与错因：练习 2
答案：A′(x) = x² + 1; A(2) = 14/3
被积函数连续，因此微积分基本定理给出 A′(x) = x² + 1。另行计算 A(2)：原函数 t³/3 + t 在 0 到 2 两端相减，得 8/3 + 2 = 14/3。
常见错误：x³/3 + x 是 A(x)，不是 A′(x)。积分变量 t 只在积分内部使用，输出导数应使用 x。
需要补习？回到对应章节继续前的检查：每道变化率应用题开算前，先标出初始量、净变化量、最终量。如果要求总路程或不带符号的面积，积分前先找出变号点。
综合验收
不看例题完成以下题目。写出定义域或区间、适用单位，以及方法成立的理由。这些题检查章节之间的联系，不考速度。
练习 1
求极限，并解释原函数在 x = 4 处是否连续。
答案、思路与错因：练习 1
答案：极限为 8。原函数在 4 处无定义，因此在该点不连续。
当 x ≠ 4 时，分式等于 x + 4，其极限为 8。连续还要求 f(4) 有定义且等于该极限，而原规则没有这个值。
常见错误：“极限存在，所以连续”漏掉了对该点函数值的要求。
需要补习？回到对应章节练习 2
设 f(x) = (2x + 1)³，求 f′(1) 与 x = 1 处的切线，再用切线估计 f(1.01)。
答案、思路与错因：练习 2
答案：f′(1) = 54；y − 27 = 54(x − 1)；f(1.01) ≈ 27.54。
链式法则给出 f′(x) = 6(2x + 1)²。x = 1 时函数值为 27，斜率为 54。输入变化 0.01 时，输出近似增加 54 × 0.01 = 0.54。
常见错误：27.27 漏掉了内层因子 2。把 27.54 当作精确值，则忘记切线只是曲线的局部近似。
需要补习？回到对应章节练习 3
物体在 0 ≤ t ≤ 4 时速度为 v(t) = 3t − 6 米/秒，且 s(0) = 5 米。求位移、最终位置与总路程，并解释其中一个量为什么可以为零。
答案、思路与错因：练习 3
答案：位移为 0 米，最终位置为 5 米，总路程为 12 米。
积分得 [1.5t² − 6t] 在 0 到 4 两端相减，结果为 0。速度在 t = 2 之前为负，之后为正。两段位移为 −6 米与 +6 米，抵消后为零；路程则相加为 12 米。
常见错误：“积分为零，所以路程为零”把抵消误当作没有运动。总路程应积分速率，即速度的绝对值。
需要补习？回到对应章节当你能独立完成 3 题，并解释其中的区别：极限与函数值、函数值与导数、位移与路程，再继续学习。若有区别仍不清楚，返回对应章节，稍后完成一道变式题。这是学习检查点，不代表通过整门课程或已具备考试准备度。
选择下一步
增加新法则前，先补齐代数
若错误来自展开、分数、方程或函数输入，先巩固这些基础。代数不再遮蔽概念时，微积分法则会更容易运用。
进入代数学习单元继续学习完整的入门课程
接下来学习乘积与商的求导法则，三角与指数函数求导，导数应用，以及换元积分。选择一本结构连贯的教材或一门完整课程。级数应放在更后阶段，先掌握微分与积分的基本思想。
比较微积分资源编辑说明与纠错
本单元的讲解与练习为 OnlyMath 原创学习内容。链接教材章节仅供延伸阅读，不代表对方认可或背书。英语与简体中文包含相同的题目和学习目标。外部链接于 2026 年 10 月 8 日核查，原站内容此后可能变化。
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