Exemplos Matemáticos

Exemplos de Problemas Matemáticos Clássicos

代数

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

用于求解一元二次方程的通用公式，其中a、b、c为方程系数。

示例： 例如：求解 x² - 5x + 6 = 0，其中a=1, b=-5, c=6

复分析

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

连接指数函数与三角函数的重要公式，在复分析中占据核心地位。

示例： 当 θ = π 时，我们得到著名的欧拉恒等式：e^{iπ} + 1 = 0

几何

a^2 + b^2 = c^2

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，是几何学中的基本定理。

示例： 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长度为5

微积分

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

将函数在某点处展开为幂级数，是微积分学中的重要工具。

示例： sin(x) 在 x=0 处的泰勒展开：x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

积分

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

高斯函数在整个实轴上的积分，在概率论和统计学中非常重要。

示例： 这个积分在正态分布的标准化过程中起着关键作用

分析

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi ix\xi} dx

将时域信号转换为频域表示，在信号处理和图像处理中广泛应用。

示例： 用于音频压缩、图像处理、通信系统等领域